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Le concept d'infini défie notre intuition quotidienne et repousse les limites de ce que nous considérons comme possible. Dans les années 1920, le mathématicien allemand David Hilbert a conçu une expérience de pensée connue sous le nom d'hôtel infini de Hilbert pour illustrer les propriétés étranges et paradoxales qui peuvent découler de l'infini.
À première vue, un hôtel infini avec un nombre infini de chambres peut sembler simple : après tout, s'il y a une infinité de chambres, il y a certainement toujours de la place pour plus de clients. Mais le scénario de Hilbert révèle rapidement fait de réalités contre-intuitives : même lorsque toutes les chambres sont occupées, il est toujours possible d'accueillir de nouveaux clients.
Que nous apprend l'hôtel de Hilbert sur la nature même des nombres ? Si l'infini n'est jamais vraiment complet, peut-on jamais considérer que quelque chose ne soit jamais vraiment "complet" ? Et si l'infini peut toujours s'étendre, cela signifie-t-il qu'il existe des infinis plus grands que d'autres ?
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David Hilbert a conçu l'hôtel infini comme une expérience de pensée pour mettre à l'épreuve notre compréhension de l'infini. En créant l'idée d'un hôtel paradoxal avec un nombre infini de chambres, il a démontré la manière dont l'infini défie toute logique.
Pour comprendre l'expérience de pensée, Hilbert demande à chacun d'imaginer un hôtel avec un nombre infini d'étages et un nombre infini de chambres. Malgré cela, l'hôtel dispose d'un directeur de nuit diligent qui doit constamment réorganiser les clients pour faire de la place aux nouveaux arrivants.
Une nuit, l'hôtel infini de Hilbert est entièrement rempli avec un nombre infini de clients. Mais lorsqu'un nouveau voyageur arrive à l'hôtel, qui affiche complet, le directeur de nuit ne le refuse pas, bien que toutes les chambres soient occupées.
Afin d'offrir au nouveau client une chambre dans un hôtel qui affiche complet, le responsable de nuit déplace chaque client de sa chambre actuelle à la suivante. Le client de la chambre 1 passe à la chambre 2, tandis que le client de la chambre 2 passe à la chambre 3, et ainsi de suite. Ainsi, chaque client passe de la chambre "n" à la chambre "n+1", ce qui libère la chambre 1 pour le nouvel arrivant.
Un soir, un bus de tourisme arrive avec 40 clients et le directeur de nuit applique la même stratégie à plus grande échelle. Tous les clients actuels passent de la chambre "n" à la chambre "n+40", libérant ainsi les 40 premières chambres. D'un point de vue mathématique, cela montre que l'infini peut toujours absorber n'importe quel nombre fini.
Le responsable de nuit est confronté à un problème plus important lorsqu'un bus infiniment grand arrive, transportant un nombre infini de passagers. Le simple fait de décaler les clients d'un nombre fini n'est plus efficace. Il doit développer une méthode plus sophistiquée pour s'assurer que chaque nouveau client reçoit une chambre.
Pour résoudre le problème, le responsable de nuit déplace tous les clients existants de la chambre "n" à la chambre "2n". Chaque client est finalement placé dans une chambre paire, et toutes les chambres impaires sont laissées vacantes pour le nombre infini de passagers du bus.
Malgré l'arrivée constante de nouveaux clients, les revenus de l'hôtel infini restent paradoxalement les mêmes. Le nombre de clients étant toujours infini, les recettes nocturnes de l'hôtel le sont également.
Une nuit, le responsable de nuit est confronté à un défi sans précédent lorsqu'un nombre infini de bus infiniment grands arrivent, chacun transportant un nombre infini de passagers. Cette situation présente un nouveau niveau de complexité qui nécessite une approche mathématique plus avancée encore.
Pour faire face à cet afflux massif de clients, le directeur de nuit se tourne vers les nombres premiers pour trouver la réponse. Les nombres premiers ne peuvent être divisés que par le chiffre 1 et par eux-mêmes. Ils comprennent donc des chiffres comme 5, 13, 47 et 89.
Après avoir examiné les nombres premiers, le directeur de nuit se souvient d'un fait mathématique de la Grèce antique dans lequel le mathématicien Euclide a prouvé que les nombres premiers sont infinis, et il décide donc de les utiliser comme méthode pour attribuer les chambres de manière à éviter les chevauchements.
Les clients de l'hôtel infini sont réaffectés en utilisant le premier nombre premier, qui est 2. Chaque client de la chambre "n" est transféré dans la chambre "2^n" (2 élevé à la puissance de leur numéro de chambre). Ce déménagement répartit de manière exponentielle les clients existants et crée de vastes quantités d'espace disponible.
Les nouveaux passagers qui ont débarqué du premier bus infini se voient attribuer des chambres sur la base du deuxième nombre premier, 3. Un passager dont le siège porte le numéro "n" se rend dans la chambre "3^n" (3 élevé à la puissance de son numéro de siège). Cela permet de s'assurer qu'il n'y a pas de chevauchement avec les passagers déjà installés dans les chambres.
Chaque bus suivant suit la même règle en utilisant le nombre premier suivant sur la liste. Le deuxième bus utilise le nombre premier 5, le troisième bus le nombre premier 7, le quatrième le nombre premier 11, et ainsi de suite. Cela garantit que tous les clients de chaque bus reçoivent des chambres uniques sans jamais rencontrer de conflits, à l'infini.
Cette stratégie fonctionne parce que les nombres premiers ont des propriétés uniques. Étant donné que chaque attribution de chambre est basée sur les exposants de ces nombres premiers, deux clients ne se retrouveront jamais dans la même chambre, quel que soit le nombre de nouveaux arrivants. Ce phénomène peut se poursuivre à l'infini.
Il est surprenant de constater que ce système ne permet pas de remplir toutes les chambres. Certains nombres, comme la salle 6, restent vides parce qu'ils ne sont pas des puissances premières (ou nombre primaire). Cela met en évidence une autre propriété étrange de l'infini, à savoir que l'expansion infinie des nombres laisse toujours des vides.
L'hôtel infini opère dans le domaine de l'infini dénombrable, ce qui signifie que chaque chambre et chaque client peuvent être numérotés dans une séquence (1, 2, 3, etc.). Ce type d'infini, connu sous le nom d'aleph-zéro (ℵ₀), est le plus petit niveau d'infini et peut être géré à l'aide de techniques structurées.
Georg Cantor, mathématicien allemand qui a révolutionné notre compréhension de l'infini, a introduit l'idée que tous les infinis ne sont pas égaux. Il a montré que l'infini dénombrable (comme les chambres de l'hôtel) est différent de l'infini indénombrable, comme l'infini des nombres réels.
Les méthodes structurées utilisées dans l'hôtel de Hilbert ne fonctionnent que parce que l'infini de l'hôtel est dénombrable. Si l'hôtel traitait des nombres réels (qui peuvent inclure des négations et même des décimales), les mêmes stratégies échoueraient, car les nombres réels ne peuvent pas être énumérés de manière séquentielle comme les nombres entiers.
Si l'hôtel acceptait des nombres réels pour l'attribution des chambres, les choses deviendraient beaucoup plus chaotiques. Il y aurait des chambres attribuées à des fractions, à des nombres irrationnels comme pi, et même à des nombres négatifs, ce qui créerait un système de réservation incroyablement complexe.
Si un nombre infini de clients quittent soudainement l'hôtel, celui-ci reste infini, mais avec un nombre infini de chambres vacantes. Le responsable de nuit pourrait réaffecter les clients restants en les décalant, mais (aussi étrange que cela puisse paraître) le nombre de chambres resterait infini.
Au-delà d'un paradoxe amusant, l'hôtel infini joue un rôle crucial dans la compréhension des propriétés mathématiques de l'infini. Il aide les étudiants, les philosophes et les mathématiciens à saisir les idées fondamentales sur les ensembles infinis et leur fonctionnement particulier.
Bien qu'il s'agisse d'une expérience de pensée, les principes qui sous-tendent l'hôtel de Hilbert ont des applications concrètes dans des domaines tels que l'informatique, la physique et la cosmologie. Des concepts tels que l'allocation infinie de mémoire et la nature d'un univers en expansion sont directement liés à la manière dont l'infini est traité dans l'hôtel de Hilbert.
L'hôtel infini de Hilbert influence également des domaines tels que la cosmologie. Il remet en question notre compréhension de la structure de l'univers et du concept d'infini réel, suscitant des discussions sur la nature de la réalité et de l'infini.
Les scientifiques ont affirmé et prouvé que l'univers a été créé par un Big Bang il y a environ 13,8 milliards d'années. En s'appuyant sur l'hôtel de Hilbert, ils envisagent également la possibilité que (à l'instar des clients infinis qui vont et viennent dans l'hôtel) l'univers s'écrase perpétuellement sur lui-même, puis s'étende, dans une répétition infinie de cycles qui dure des milliers de milliards d'années.
Certains philosophes et théologiens affirment que les paradoxes découlant de l'hôtel de Hilbert suggèrent qu'un infini réel ne peut exister dans la réalité, ce qui implique que l'univers doit avoir un commencement fini. Ce raisonnement a également été utilisé dans les débats théologiques sur l'existence d'un créateur.
Les chercheurs ont exploré les parallèles entre l'hôtel de Hilbert et la mécanique quantique, notamment en essayant d'établir des dimensions infinies dans l'univers. Cette analogie aide à comprendre les systèmes quantiques complexes et les structures mathématiques qui les décrivent.
Le paradoxe peut également servir de métaphore pour la gestion des ressources, illustrant le fait que des ressources infinies peuvent toujours être réaffectées pour répondre à des demandes infinies. Bien qu'il soit entièrement théorique, il suscite des discussions sur l'efficacité et l'optimisation.
L'hôtel infini de Hilbert rappelle que l'intuition de chacun est façonnée par des expériences limitées, ce qui rend la véritable infinité difficile à appréhender. Bien que nous puissions manipuler l'infini mathématiquement, c'est un défi intellectuel que de saisir sa véritable nature. C'est pourquoi l'hôtel de Hilbert continue de captiver les penseurs, même un siècle après sa conception.
Sources : (TED-Ed) (Britannica) (ScienceABC)
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Infini des possibles : qu'est-ce que le paradoxe mathématique de l'hôtel infini de Hilbert ?
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Le concept d'infini défie notre intuition quotidienne et repousse les limites de ce que nous considérons comme possible. Dans les années 1920, le mathématicien allemand David Hilbert a conçu une expérience de pensée connue sous le nom d'hôtel infini de Hilbert pour illustrer les propriétés étranges et paradoxales qui peuvent découler de l'infini.
À première vue, un hôtel infini avec un nombre infini de chambres peut sembler simple : après tout, s'il y a une infinité de chambres, il y a certainement toujours de la place pour plus de clients. Mais le scénario de Hilbert révèle rapidement fait de réalités contre-intuitives : même lorsque toutes les chambres sont occupées, il est toujours possible d'accueillir de nouveaux clients.
Que nous apprend l'hôtel de Hilbert sur la nature même des nombres ? Si l'infini n'est jamais vraiment complet, peut-on jamais considérer que quelque chose ne soit jamais vraiment "complet" ? Et si l'infini peut toujours s'étendre, cela signifie-t-il qu'il existe des infinis plus grands que d'autres ?
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